[통계학] Probability Theory

S라는 set에서

B는 S의 subsets.

P는 every event에 대한 probability, P(A)=A event의 probability. P를 probability distribution이나 probability measure이라 부른다. 

 

Axioms of Probability 

그리고 

을 만족하면

 

countable additivity 성질을 지닌다. 

Central limit theorem

The central limit theorem (CLT) explains the ubiquitous occurrence of the normal distribution in nature, and this theorem, according to David Williams, "is one of the great results of mathematics."

The theorem states that the average of many independent and identically distributed random variables with finite variance tends towards a normal distribution irrespective of the distribution followed by the original random variables. Formally, let X1, X2 be independent random variables with mean and variance 

 Then the sequence of random variables converges in distribution to a standard normal random variable.

Distribution Function

A random variable X is continuous if Fx(x) is a continuous function of x. 

A random variable X is discrete if Fx(x) is a step function of x.

 

ex) Geometric Distribution 기하 분포

 

확률론에서 기하 분포(幾何分布, geometric distribution)는 이산 확률 분포의 하나로, 다음 두 가지 정의가 있다.

• 베르누이 시행에서 처음 성공까지 시도한 횟수 X의 분포. 지지집합은 {1, 2, 3...}이다.
• 베르누이 시행에서 처음 성공할 때까지 실패한 횟수 Y=X-1의 분포. 지지집합은 {0, 1, 2, ...}이다.

보통 편의에 따라 둘 중 하나를 선택해 이용하며, 기하 분포를 언급할 때는 어느 정의를 이용하는지 분명히 하는 것이 좋다. 대개의 경우 X의 분포를 가리키는 것이 일반적이다.

성공확률 p인 베르누이 시행에 대해, k번 시행후 첫 번째 성공을 얻을 확률은

(k = 1, 2, 3, ....) 이다.

첫 번째 성공까지 시행한 실패의 횟수를 나타내면

(k=0, 1, 2, ...) 두 경우 모두, 확률의 수열은 기하 수열이다.

 

 

Density & Mass function